Разработка урока по математике "Вероятность противоположных событий". 11 класс

Учитель: Федорова Ирина Александровна.

Цели: Обучающие: сформулировать понятие противоположного события, рассмотреть и доказать теорему о сумме вероятностей противоположных событий, продолжить формирование умения решать задачи теории вероятностей.

Развивающие: развивать логическое мышление, воображение память.

Воспитательные: воспитывать трудолюбие самостоятельность, аккуратность.

Тип урока: урок изучения новых знаний.

Литература:

1. Колягин, Ю. М. Алгебра и начала анализа. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.- 240 с.

План:

I.                   Организационный момент (1-2’).

II.                Актуализация знаний (5-7’).

III.             Введение новых знаний (12-15’).

IV.              Закрепление нового материала (15-20’).

V.                 Подведение итогов (1-2’).

VI.              Домашнее задание и его инструктаж (2-3’).

Ход урока:

I.                   Организационный момент (1-2’).

- Здравствуйте, ребята, садитесь. Кто из учеников отсутствует на уроке? (Воспринимают информацию и отвечают на вопросы).

II.      Актуализация знаний (5-7’).

- По какой формуле вычисляется вероятность события А? (Р(А)=m/n, где m - число благоприятствующих событию A исходов, а n - число всех элементарных исходов некоторого события A).

- Что называется суммой событий A и B? (Суммой событий A и B называют событие A+ B, состоящее в появлении либо только события A, либо только события B, либо и события A и  события B одновременно).

- Чему равна вероятность появления одного из двух несовместных событий? (Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. P(A+B)=P(A)+P(B)).

- Молодцы!

III.             Введение новых знаний (12-15’).

- А теперь откройте тетради и запишите тему сегодняшнего урока: «Вероятность противоположного события». (Записывают в тетрадях тему урока).

- Запишем определение противоположного события: Событие A'  называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А. (Записывают определение под диктовку).

- Пусть событие А — выпадание орла при бросании монеты, то какое событие будет противоположным ему? (Противоположным событием событию А будет выпадание решки).

- Пусть теперь в некотором испытании из п элементарных событий, событию A благоприятствуют m1 событий, а событию A' благоприятствуют m₂ событий, то m₁ + m₂ = п. (Записывают формулу в тетрадях).

- Пример: при бросании игральной кости — 6 элементарных событий ( n=6), событию А — «выпало 6 очков» —благоприятствует одно событие ( m1 = 1 ), а событию A' — «выпало не 6 очков» — благоприятствуют 5 элементарных событий (m₂ = 5): 1 + 5 = 6.

- Сформулируем теорему: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. (Записывают теорему в тетрадях).

- Докажем ее: Пусть в результате некоторого испытания могут произойти п элементарных событий и пусть событию A благоприятствуют m1 элементарных событий, а противоположному ему событию A' благоприятствуют m₂ элементарных событий. Чему равны вероятности появления событий A и A'? (Вероятность события A равна: P(A)=m1/n, вероятность события A' равна: P(A')=m2/n).

- Сложим вероятности противоположных событий:

 P(A)+P(A')=m1/n+m2/n=(m1+m2)/n=n/n=1. Таким образом, P(A)+P(A')=1.

- Рассмотрим следующую задачу: Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,6. Какова вероятность того, что он, выстрелив по мишени, промахнется? Пусть событие A — попадание в мишень, чему равна вероятность наступления этого события? (P(A)=0,6). Какое будут противоположное попаданию событие? (Промах). Чему равна вероятность промаха? (P(A')=1-0,6=0,4).

- Молодцы! Решим следующую задачу: В роте из 100 солдат двое имеют высшее образование. Какова вероятность того, что в случайным образом сформированном взводе из 30 солдат будет хотя бы один человек с высшим образованием? (Записывают условие задачи в тетради).

- Что обозначим за событие A? (Пусть событие A — во взводе хотя бы один человек имеет высшее образование).

- Что обозначим за событие A'? (Тогда событие A' — ни один человек во взводе не имеет высшего образования).

- Сколькими способами можно составить взвод из 30 чел.? (C(30 из 100))

- Сколько солдат не имеют высшего образования? (Солдат, не имеющих высшего образования, 100 - 2 = 98).

- Сколькими способами можно составить взвод из солдат, не имеющих высшего образования, в составе 30 чел.? (C(30 из 98))

- Тогда чему равна вероятность того, что во взвод попадут только те солдаты, которые не имеют высшего образования?

(P(A')=C(30 из 98)/С(30 из 100)=(98!/(30!*(98-30)!)/(100!/(30!*(100-30)!)=(98!*30!*70!)/(30!*68!*100!)=(68*70)/(99*100)=161/330).

- Тогда чему равна вероятность того, что во взвод попадет хотя бы один солдат, имеющий высшее образование?

(P(A)=1-P(A')=1-161/330=169/330=0.512).

IV.              Закрепление нового материала (15-20’).

- Откройте учебник на стр. 149. Решим № 386 устно:  Что является событием, противоположным событию:

1) сегодня первый урок — физика;

2) экзамен сдан на «отлично»;

3) на игральной кости выпало меньше 5 очков;

4) хотя бы одна пуля при трех выстрелах попала в цель?

(Отвечают по очереди: 1) Сегодня первый урок – не физика;

2) Экзамен не сдан на отлично;

3) На игральной кости выпало больше 4 очков;

4) ни одна пуля не попала в цель.

- Молодцы! Дима, иди к доске и реши № 388. Все остальные решают в тетрадях.

(Дима: «Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино (28 костей) одна кость домино не будет «дублем»».

Решение: В полном наборе домино 7 «дублей». Вероятность вытянуть «дубль» равна: P(A)=7/28=0,25, тогда по теореме о сумме вероятностей противоположных событий получаем: P(A')=1-P(A)=1-0,25=0,75).

Ответ: 0,75 - вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино одна кость домино не будет «дублем».

- Молодец, садись.

- Лена, реши у доски № 389. Все остальные решают в тетрадях.

(Лена читает: «В ящике лежат 5 белых, 10 черных и 15 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый шар не будет белым?»

Решение: Вероятность того, что вытянутый из ящика шар будет белым равна: P(A)=5/30=1/6, тогда вероятность того, что вытянутый из ящика шар не будет белым по теореме о сумме вероятностей противоположных событий равна: P(A')=1-1/6=5/6.

Ответ: Вероятность того, что наугад вынутый шар из ящика не будет белым равна 5/6.

- Правильно, садись!

V.                 Подведение итогов (1-2’).

- На уроке все работали хорошо.

- Итак, что такое противоположное событие? (Событие A' называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А.)

VI.              Домашнее задание и его инструктаж (2-3’).

- Откройте дневники и запишите домашнее задание: § 34, №№ 387, 390. (Записывают дом. задание).

- Все эти номера того же вида, задания которого мы выполнили в классе).

Решение домашнего задания.

№ 387. Вероятность выигрыша главного приза равна 10 в (-8) степени. Какова вероятность не выиграть главный приз?

Решение:  Пусть событие A - «выигрыш главного приза», тогда  событие A' - «не выигрыш главного приза».

По условию задачи P(A)=10 в (-8) степени, тогда используя теорему о сумме вероятностей противоположных событий: P(A')=0,9999999.

Ответ: 0.9999999.

№ 390. В студенческой группе 22 чел., среди которых 4 девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом выбранных из этой группы студентов окажется по крайней мере одна девушка?

Решение: Пусть событие A — выбранный студент – девушка. Тогда событие A' — выбранный студент – юноша. 

C (3 из 22) - столькими способами можно выбрать троих студентов.

22 – 4 = 18 чел. – столько в группе юношей.

С(3 из 18) - столькими способами можно выбрать троих студентов, являющихся юношами. Тогда вероятность того, что среди выбранных троих студентов из 22 чел. не будет ни одной девушки равна:

P(A')=С(3 из 18)/С(3 из 22)=(18!/(3!*(18-3)!)/(22!/(3!*(22-3)!))=204/385.

 Тогда вероятность того, что среди выбранных троих студентов из 22 чел.  будет хотя бы одна девушка равна:

P(A)=1-P(A')=1-204/385=181/385.

Ответ: вероятность того, что среди выбранных троих студентов из 22 чел.  будет хотя бы одна девушка равна: 181/385.